NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations (Ex 9.6) Exercise 9.6

Q.1 Find the general solution of the differential equation given below.

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{y}=\mathrm{sinx}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{y}=\mathrm{sinx}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=2\mathrm{andQ}=\mathrm{sinx}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int 2\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{relation},\\ \mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{ye}}^{2\mathrm{x}}=\int (\mathrm{sinx}\times {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}...\mathrm{\hspace{0.17em}}\left(\mathrm{i}\right)\\ \mathrm{Let}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}=\int {\mathrm{sinxe}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\mathrm{sinx}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\mathrm{sinx}\left[\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\right]-\int \mathrm{cosx}.\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{1}{2}\mathrm{sinx}\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-\frac{1}{2}\int \mathrm{cosx}.\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{1}{2}\mathrm{sinx}\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-\frac{1}{2}\{\mathrm{cosx}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}\}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{1}{2}\mathrm{sinx}\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-\frac{1}{2}\{\mathrm{cosx}\left[\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\right]-\int (-\mathrm{sinx}\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}\}\end{array}$ \begin{array}{l}I=\frac{1}{2}sinx{e}^{2x}-\frac{1}{4}\left(cosx{e}^{2x}+I\right)\\ I=\frac{1}{2}sinx{e}^{2x}-\frac{1}{4}cosx{e}^{2x}-\frac{1}{4}I\\ \frac{5}{4}I=\frac{1}{4}{e}^{2x}\left(2sinx-cosx\right)\\ I=\frac{1}{5}{e}^{2x}\left(2sinx-cosx\right)\\ \text{So, from equation}\left(\text{i}\right)\text{, we have}\\ y{e}^{2x}=\frac{1}{5}{e}^{2x}\left(2sinx-cosx\right)+C\\ \Rightarrow y=\frac{1}{5}\left(2sinx-cosx\right)+C{e}^{–2x}\\ \text{This is the required general solution of the given differential}\\ \text{equation}\text{.}\end{array}

Q.2 Find the general solution of the differential equation given below.

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+3\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+3\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=3\mathrm{and}\mathrm{Q}={\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int 3\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}\end{array}$ \begin{array}{l}\text{The solution of given differential equation is given by the relation,}\\ \text{y}\left(I.F.\right)={\displaystyle \int \left(Q\times I.F.\right)}dx+C\\ y{e}^{3x}={\displaystyle \int \left(e^{-2x}\times e^{3x}\right)}dx+C\\ ={\displaystyle \int e^x}dx+C\\ y{e}^{3x}=e^x+C\\ y=e^{-2x}+C{e}^{-3x}\\ \text{This is the required general solution of the given differential}\\ \text{equation}\text{.}\end{array}

Q.3 Find the general solution of the differential equation given below.

\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x^2

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^2\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{and}\mathrm{Q}={\mathrm{x}}^2\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\mathrm{logx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\mathrm{x}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{relation},\\ \mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{yx}=\int ({\mathrm{x}}^2\times \mathrm{x})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\end{array}$ \begin{array}{l}={\displaystyle \int x^3}dx+C\\ xy=\frac{x^4}{4}+C\\ \text{This is the required general solution of the given differential}\\ \text{equation}\text{.}\end{array}

Q.4 Find the general solution of the differential equation given below.

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\left(\mathrm{secx}\right)\mathrm{y}=\mathrm{tanx}(\mathbf{0}\le \mathbf{x}<\frac{\mathrm{\pi }}{2})$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\left(\mathrm{secx}\right)\mathrm{y}=\mathrm{tanx}(0\le \mathrm{x}<\frac{\mathrm{\pi }}{2})\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=\mathrm{secx}\mathrm{and}\mathrm{Q}=\mathrm{tanx}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{secx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\log (\mathrm{secx}+\mathrm{tanx})}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\mathrm{secx}+\mathrm{tanx}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{relation},\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}(\mathrm{secx}+\mathrm{tanx})=\int (\mathrm{secx}+\mathrm{tanx})\mathrm{tanx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}(\mathrm{secx}+\mathrm{tanx})=\int \mathrm{secxtanx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\int {\tan }^2\mathrm{x}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=\mathrm{secx}+\int ({\sec }^2\mathrm{x}-1)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=\mathrm{secx}+\mathrm{tanx}-\mathrm{x}+\mathrm{C}\\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{differential}\\ \mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$

Q.5 Find the general solution of the differential equation given below.

${\text{cos}}^2\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}=\tan \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}(\mathbf{0}\le \mathbf{x}<\frac{\mathrm{\pi }}{2})$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}{\cos }^2\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}=\tan \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}(0\le \mathrm{x}<\frac{\mathrm{\pi }}{2})\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\left({\sec }^2\mathrm{x}\right)\mathrm{y}={\sec }^2\mathrm{xtan}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}={\sec }^2\mathrm{x}\mathrm{and}\mathrm{Q}={\sec }^2\mathrm{xtan}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int {\sec }^2\mathrm{x}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\mathrm{tanx}}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{relation},\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{ye}}^{\mathrm{tanx}}=\int ({\sec }^2\mathrm{x}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{tanx})\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{tanx}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{ye}}^{\mathrm{tanx}}=\int {\mathrm{te}}^{\mathrm{t}}{\sec }^2\mathrm{x}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{dt}}{{\sec }^2\mathrm{x}}+\mathrm{C}\left[\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{t}=\mathrm{tanx}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}={\sec }^2\mathrm{x}\end{array}\right]\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\mathrm{ye}}^{\mathrm{tanx}}=\int {\mathrm{te}}^{\mathrm{t}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dt}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=\mathrm{t}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dt}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\mathrm{t}\mathrm{\hspace{0.17em}}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dt})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dt}+\mathrm{C}\end{array}$ $\begin{array}{l}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}={\mathrm{te}}^{\mathrm{t}}-\int 1.{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dt}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}={\mathrm{te}}^{\mathrm{t}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}(\mathrm{t}-1)+\mathrm{C}\\ \mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{ye}}^{\mathrm{tanx}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{tanx}}(\mathrm{tanx}-1)+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{y}=(\mathrm{tanx}-1)+{\mathrm{Ce}}^{-\mathrm{tanx}}\end{array}$ \begin{array}{l}\text{This is the required general solution of the given differential}\\ \text{equation}\text{.}\end{array}

Q.6 Find the general solution of the differential equation given below.

$\text{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{logx}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{logx}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\mathrm{x}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{logx}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=\frac{2}{\mathrm{x}}\mathrm{and}\mathrm{Q}=\mathrm{x}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{logx}\\ \mathrm{So},\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int \frac{2}{\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={{\mathrm{e}}^2}^{\mathrm{logx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{{}^{{\mathrm{logx}}^2}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{x}}^2\end{array}$ $\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{relation},\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\mathrm{yx}}^2=\int \mathrm{x}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{logx}.\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\mathrm{yx}}^2=\int {\mathrm{x}}^3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{logx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\end{array}$ $\begin{array}{l}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=\mathrm{logx}\int {\mathrm{x}}^3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}\int {\mathrm{x}}^3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=\mathrm{logx}.\left[\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}\right]-\int \left(\frac{1}{\mathrm{x}}\left[\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}\right]\right)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=\mathrm{logx}.\left[\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}\right]-\frac{1}{4}\int {\mathrm{x}}^3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=\mathrm{logx}.\left[\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}\right]-\frac{1}{4}\left[\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}\right]+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\mathrm{yx}}^2=\frac{{\mathrm{x}}^4}{16}(4\mathrm{logx}-1)+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{16}(4\mathrm{logx}-1)+{\mathrm{Cx}}^{-2}\\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{differential}\\ \mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$

Q.7 Find the general solution of the differential equation given below.

$\text{xlogx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}=\frac{}{\mathrm{x}}\mathrm{logx}$

Ans

$\text{The given differential equation is xlogx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}=\frac{2}{\mathrm{x}}\mathrm{logx}$ $\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{xlogx}}=\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=\frac{1}{\mathrm{xlogx}}\mathrm{and}\mathrm{Q}=\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{\mathrm{xlogx}}\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\log \left(\mathrm{logx}\right)}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\mathrm{logx}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\\ \mathrm{relation},\\ \mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{ylogx}=\int (\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}\times \mathrm{logx})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{ylogx}=\mathrm{logx}\int \frac{2}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}\int \frac{2}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{ylogx}=2\{\mathrm{logx}(-\frac{1}{\mathrm{x}})-\int \frac{1}{\mathrm{x}}\times -\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}\}+\mathrm{C}\\ \mathrm{ylogx}=2\{-\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{logx}+\int {\mathrm{x}}^{-2}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}\}+\mathrm{C}\\ \mathrm{ylogx}=2(-\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{logx}+\frac{{\mathrm{x}}^{-1}}{-1})+\mathrm{C}\end{array}$ $\begin{array}{l}\mathrm{ylogx}=-\frac{2}{\mathrm{x}}\mathrm{logx}-\frac{2}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}\\ \mathrm{ylogx}=-\frac{2}{\mathrm{x}}(\mathrm{logx}+1)+\mathrm{C}\\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{differential}\\ \mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$

Q.8 Find the general solution of the differential equation given below.

${\text{(1+x}}^2)\mathrm{dy}+2\mathrm{xydx}=\mathrm{cotx}\mathrm{dx}(\mathrm{x}\ne 0)$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}(1+{\mathrm{x}}^2)\mathrm{dy}+2\mathrm{xydx}=\mathrm{cotxdx}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}(\mathrm{x}\ne 0)\\ \Rightarrow \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{2\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{cotx}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=\frac{2\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\mathrm{and}\mathrm{Q}=\frac{\mathrm{cotx}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int \frac{2\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\log (1+{\mathrm{x}}^2)}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=(1+{\mathrm{x}}^2)\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\\ \end{array}$

relation,

\begin{array}{l}\text{y}\left(I.F.\right)={\displaystyle \int \left(Q\times I.F.\right)}dx+C\\ y\left(1+x^2\right)={\displaystyle \int \left\{\frac{\cot x}{\left(1+x^2\right)}\times \left(1+x^2\right)\right\}}dx+C\\ y\left(1+x^2\right)={\displaystyle \int \cot x}dx+C\\ y\left(1+x^2\right)=\log \left|\sin x\right|+C\\ y={\left(1+x^2\right)}^{-1}\log \left|\sin x\right|+C{\left(1+x^2\right)}^{-1}\\ \text{This is the required general solution of the given differential}\\ \text{equation}\text{.}\end{array}

Q.9 Find the general solution of the differential equation given below.

$\text{x}\frac{dy}{dx}+y-x+xycotx=0$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\\ \mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}-\mathrm{x}+\mathrm{xycotx}=0\\ \Rightarrow \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{(1+\mathrm{xcotx})}{\mathrm{x}}\mathrm{y}=1\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=\frac{(1+\mathrm{xcotx})}{\mathrm{x}}\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}\mathrm{Q}=1\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int \frac{(1+\mathrm{xcotx})}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}}\end{array}$ $\begin{array}{l}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int (\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{cotx})\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\log \left|\mathrm{x}\right|+\log \left|\mathrm{sinx}\right|}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={{\mathrm{e}}^{\log }}^{\left|\mathrm{xsinx}\right|}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\mathrm{xsinx}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\\ \mathrm{relation},\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{y}\left(\mathrm{xsinx}\right)=\int \{1\times \left(\mathrm{xsinx}\right)\}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{y}\left(\mathrm{xsinx}\right)=\int \mathrm{xsinx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{y}\left(\mathrm{xsinx}\right)=\mathrm{x}\int \mathrm{sinx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\int \mathrm{sinx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{y}\left(\mathrm{xsinx}\right)=-\mathrm{xcosx}-\int (-\mathrm{cosx})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{y}\left(\mathrm{xsinx}\right)=-\mathrm{xcosx}+\mathrm{sinx}+\mathrm{C}\\ \Rightarrow \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}}-\mathrm{cotx}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}}\mathrm{cosecx}\\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{differential}\\ \mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$

Q.10 Find the general solution of the differential equation given below.

$\text{(x+y)}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=1$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}(\mathrm{x}+\mathrm{y})\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=1\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{(\mathrm{x}+\mathrm{y})}\end{array}$ $\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\\ \Rightarrow \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\mathrm{x}=\mathrm{y}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\mathrm{Px}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=-1\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}\mathrm{Q}=\mathrm{y}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdy}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int -1\mathrm{dy}}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\\ \mathrm{relation},\\ \mathrm{x}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{xe}}^{-\mathrm{y}}=\int \{\mathrm{y}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}\}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\mathrm{xe}}^{-\mathrm{y}}=\int {\mathrm{ye}}^{-\mathrm{y}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\\ {\mathrm{xe}}^{-\mathrm{y}}=\mathrm{y}\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dy}}\mathrm{y}\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\\ =-{\mathrm{ye}}^{-\mathrm{y}}+\int (1.{\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\end{array}$ \begin{array}{l}\end{array} $\begin{array}{l}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=-{\mathrm{ye}}^{-\mathrm{y}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}+\mathrm{C}\\ \Rightarrow \mathrm{x}=-\mathrm{y}-1+{\mathrm{Ce}}^{\mathrm{y}}(\mathrm{Dividing}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{by}{\mathrm{e}}^{–\mathrm{y}})\\ \Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}+1={\mathrm{Ce}}^{\mathrm{y}}\\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{differential}\\ \mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$

Q.11 Find the general solution of the differential equation given below.

$\text{ydx+}{\text{(x−y}}^2)\mathrm{dy}=0$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{ydx}+(\mathrm{x}-{\mathrm{y}}^2)\mathrm{dy}=0\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{\mathrm{y}}{(\mathrm{x}-{\mathrm{y}}^2)}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=-\frac{(\mathrm{x}-{\mathrm{y}}^2)}{\mathrm{y}}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=-(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}-\mathrm{y})\\ \Rightarrow \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\mathrm{y}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\mathrm{Px}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=\frac{1}{\mathrm{y}}\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}\mathrm{Q}=\mathrm{y}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdy}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{\mathrm{y}}\mathrm{dy}}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\mathrm{logy}}=\mathrm{y}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\\ \mathrm{relation},\\ \mathrm{x}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{xy}=\int \{\mathrm{y}\times \mathrm{y}\}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{xy}=\int {\mathrm{y}}^2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\end{array}$ \begin{array}{l}xy=\frac{y^3}{3}+C\\ x=\frac{y^2}{3}+\frac{C}{y}\\ \text{This is the required general solution of the given differential}\\ \text{equation}\text{.}\end{array}

Q.12 Find the general solution of the differential equation given below.

${\text{(x+3y}}^2)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}(\mathrm{y}>0)$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}(\mathrm{x}+3{\mathrm{y}}^2)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}(\mathrm{y}>0)\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{y}}{(\mathrm{x}+3{\mathrm{y}}^2)}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=\frac{(\mathrm{x}+3{\mathrm{y}}^2)}{\mathrm{y}}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+3\mathrm{y})\\ \Rightarrow \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=3\mathrm{y}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\mathrm{Px}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=-\frac{1}{\mathrm{y}}\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}\mathrm{Q}=3\mathrm{y}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdy}}\end{array}$ $\begin{array}{l}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int -\frac{1}{\mathrm{y}}\mathrm{dy}}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{logy}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{1}{\mathrm{y}}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\\ \mathrm{relation},\\ \mathrm{x}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\frac{1}{\mathrm{y}}=\int \{3\mathrm{y}\times \frac{1}{\mathrm{y}}\}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{x}\frac{1}{\mathrm{y}}=\int 3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dy}+\mathrm{C}=3\mathrm{y}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}=3{\mathrm{y}}^2+\mathrm{Cy}\\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{differential}\\ \mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$

Q.13 For the differential equations, find a particular solution satisfying the given condition:

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{ytanx}=\mathrm{sinx};\mathrm{y}=0\mathrm{whenx}=\frac{\mathrm{\pi }}{}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{ytanx}=\mathrm{sinx};\\ \mathrm{y}=0\mathrm{when}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\end{array}$ $\begin{array}{l}\mathrm{P}=2\mathrm{tanx}\mathrm{and}\mathrm{Q}=\mathrm{sinx}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int 2\mathrm{tanx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={{\mathrm{e}}^2}^{\mathrm{logsecx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{{}^{{\mathrm{logsec}}^2\mathrm{x}}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\sec }^2\mathrm{x}\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{relation},\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ {\mathrm{ysec}}^2\mathrm{x}=\int (\mathrm{sinx}\times {\sec }^2\mathrm{x})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ {\mathrm{ysec}}^2\mathrm{x}=\int \mathrm{tanx}.\mathrm{secx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}=\mathrm{secx}+\mathrm{C}\mathrm{​}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}=\mathrm{cosx}+{\mathrm{Ccos}}^2\mathrm{x}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}...\left(\mathrm{i}\right)\\ \mathrm{This}\mathrm{​}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{general}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{.}\\ \mathrm{Now},\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{y}=0\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{when}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{so}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}0=\cos \frac{\mathrm{\pi }}{3}+{\mathrm{Ccos}}^2\frac{\mathrm{\pi }}{3}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}0=\frac{1}{2}+\mathrm{C}\frac{1}{4}\Rightarrow \mathrm{C}=-2\\ \mathrm{Putting}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{C}\mathrm{in}\mathrm{equation}\left(\mathrm{i}\right),\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}=\mathrm{cosx}-2{\cos }^2\mathrm{x}\\ \mathrm{This}\mathrm{​}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{particular}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$

Q.14 For the differential equation given below, find a particular solution satisfying the given condition:

${\text{(1+x}}^2)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{xy}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2};\mathrm{y}=0\mathrm{when}x=1$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}(1+{\mathrm{x}}^2)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{xy}=\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2};\\ \mathrm{y}=0\mathrm{whenx}=1\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{2\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\mathrm{y}=\frac{1}{{(1+{\mathrm{x}}^2)}^2}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\mathrm{Px}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=\frac{2\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\mathrm{and}\mathrm{Q}=\frac{1}{{(1+{\mathrm{x}}^2)}^2}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdy}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int \frac{2\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\mathrm{dy}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\log (1+{\mathrm{x}}^2)}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=(1+{\mathrm{x}}^2)\\ \mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\\ \mathrm{relation},\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{y}(1+{\mathrm{x}}^2)=\int \{\frac{1}{{(1+{\mathrm{x}}^2)}^2}\times (1+{\mathrm{x}}^2)\}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\int \frac{1}{(1+{\mathrm{x}}^2)}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\end{array}$ $\begin{array}{l}\mathrm{y}(1+{\mathrm{x}}^2)={\tan }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{C}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}...\left(\mathrm{i}\right)\\ \mathrm{Now},\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{y}=0\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{at}\mathrm{x}=1\\ 0(1+1^2)={\tan }^{-1}1+\mathrm{C}\mathrm{\hspace{0.17em}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{C}\Rightarrow \mathrm{C}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ \mathrm{From}\mathrm{equation}\left(\mathrm{i}\right),\hspace{0.17em}\mathrm{we}\mathrm{have}\end{array}$ $\begin{array}{l}\mathrm{y}(1+{\mathrm{x}}^2)={\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ \mathrm{This}\mathrm{​}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{particular}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$

Q.15 For the differential equation given below, find a particular solution satisfying the given condition:

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-3\mathrm{ycotx}=\sin 2\mathrm{x};\mathrm{y}=2\mathrm{whenx}=\frac{\mathrm{\pi }}{}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-3\mathrm{ycotx}=\sin 2\mathrm{x};\\ \mathrm{y}=2\mathrm{whenx}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \mathrm{Comparing}\mathrm{it}\mathrm{with}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\mathrm{Px}=\mathrm{Q},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{P}=-3\mathrm{cotx}\mathrm{and}\mathrm{Q}=\sin 2\mathrm{x}\\ \mathrm{So},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{I}.\mathrm{F}.={\mathrm{e}}^{\int \mathrm{Pdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{\int -3\mathrm{cotxdx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}={\mathrm{e}}^{-3\mathrm{logsinx}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{1}{{\sin }^3\mathrm{x}}={\mathrm{cosec}}^3\mathrm{x}\end{array}$ $\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{given}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{the}\\ \mathrm{relation},\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{y}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.)=\int (\mathrm{Q}\times \mathrm{I}.\mathrm{F}.)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ {\mathrm{ycosec}}^3\mathrm{x}=\int \{\sin 2\mathrm{x}\times {\mathrm{cosec}}^3\mathrm{x}\}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\int 2\frac{\mathrm{cosx}}{{\sin }^2\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\int 2\mathrm{cotx}.\mathrm{cosecx}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ {\mathrm{ycosec}}^3\mathrm{x}=-2\mathrm{cosecx}+\mathrm{C}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{y}=-2{\sin }^2\mathrm{x}+{\mathrm{Csin}}^3\mathrm{x}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{\hspace{0.17em}}...\left(\mathrm{i}\right)\\ \mathrm{Now},\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{y}=2\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{at}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2=-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\pi }}{2}+{\mathrm{Csin}}^3\frac{\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{\hspace{0.17em}}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2=-2+\mathrm{C}\Rightarrow \mathrm{C}=4\\ \mathrm{From}\mathrm{equation}\left(\mathrm{i}\right),\hspace{0.17em}\mathrm{we}\mathrm{have}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{y}=-2{\sin }^2\mathrm{x}+4{\sin }^3\mathrm{x}\\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{particular}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{differential}\\ \mathrm{equation}\mathrm{.}\end{array}$