NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integrals (Ex 7.6) Exercise 7.6

Q.1 Integrate the function x sin x.

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \mathrm{xsinx}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}\text{algebraic function i.e. x as a first function and sinx as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ =\mathrm{x}\int \mathrm{sinx}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)\int \mathrm{sinx}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{x}(-\mathrm{cosx})-\int 1.(-\mathrm{cosx})\mathrm{dx}\\ =-\mathrm{xcosx}+\mathrm{sinx}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.2 Integrate the functions
x sin 3x

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \mathrm{xsin}3\mathrm{x}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}\text{algebraic function i.e. x as a first function and sin3x as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ =\mathrm{x}\int \sin 3\mathrm{x}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)\int \sin 3\mathrm{x}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{x}(-\frac{1}{3}\cos 3\mathrm{x})-\int 1.(-\frac{1}{3}\mathrm{cosx})\mathrm{dx}\\ =-\frac{1}{3}\mathrm{xcos}3\mathrm{x}+\frac{1}{9}\sin 3\mathrm{x}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.3 Integrate the functions
x² e^x

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}{\text{algebraic function i.e. x}}^{\text{2}}{\text{as a first function and e}}^{\text{x}}\text{as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ ={\mathrm{x}}^2\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^2\right)\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ ={\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)-\int 2\mathrm{x}.\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}\\ ={\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2[\mathrm{x}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}]+\mathrm{C}\\ ={\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2[{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}-\int 1.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}]+\mathrm{C}\\ ={\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}\\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2)+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.4 Integrate the functions
x logx

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \mathrm{xlogx}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}\text{logx as a first function and}\mathrm{x}\text{as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ =\mathrm{logx}\int \mathrm{x}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}\right)\int \mathrm{x}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{logx}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)-\int \frac{1}{\mathrm{x}}.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\mathrm{logx}-\int \frac{\mathrm{x}}{2}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\mathrm{logx}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.5 Integrate the functions
x log 2x

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \mathrm{xlog}2\mathrm{x}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}\text{log2x as a first function and}\mathrm{x}\text{as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ =\log 2\mathrm{x}\int \mathrm{x}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\log 2\mathrm{x}\right)\int \mathrm{x}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ =\log 2\mathrm{x}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)-\int \frac{1}{2\mathrm{x}}\times 2.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log 2\mathrm{x}-\int \frac{\mathrm{x}}{2}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\log 2\mathrm{x}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.6 Integrate the functions
x² logx

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{x}}^2\mathrm{logx}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}\text{logx as a first function and}{\mathrm{x}}^2\text{as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ =\mathrm{logx}\int {\mathrm{x}}^2\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}\right)\int {\mathrm{x}}^2\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{logx}\left(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right)-\int \frac{1}{\mathrm{x}}.\left(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\mathrm{logx}-\int \frac{{\mathrm{x}}^2}{3}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\mathrm{logx}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{9}+\mathrm{C}\end{array}$

Q.7 Integrate the functions
x sin^-1x

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{xsin}}^{-1}\mathrm{x}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Let}\text{t}={\text{sin}}^{-\text{1}}\text{x}\Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{sint}\\ \mathrm{cost}=\sqrt{1-{\sin }^2\mathrm{t}}=\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}\\ \mathrm{Then},\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\text{sin}}^{-\text{1}}\text{x}\\ =\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\\ =\frac{1}{\mathrm{cost}}\\ \Rightarrow \mathrm{dx}=\mathrm{cost}\mathrm{dt}\\ \mathrm{So},\mathrm{I}=\int \mathrm{tsint}\mathrm{cost}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\int \mathrm{tsin}2\mathrm{t}\mathrm{dt}\\ \mathrm{Taking}\text{algebraic function i.e. t as a first function and sin2t as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ =\frac{1}{2}[\mathrm{t}\int \sin 2\mathrm{t}\mathrm{dt}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\mathrm{t}\right)\int \sin 2\mathrm{t}\mathrm{dt}\}\mathrm{dt}]\\ =\frac{1}{2}[\mathrm{t}(-\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{t})-\int 1.(-\frac{1}{2}\mathrm{co}2\mathrm{t})\mathrm{dx}]\\ =\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}\mathrm{tcos}2\mathrm{t}+\frac{1}{4}\sin 2\mathrm{t}+\mathrm{C}]\\ =-\frac{1}{4}\mathrm{t}(1-2{\sin }^2\mathrm{t})+\frac{1}{8}\times 2\mathrm{sintcost}+\mathrm{C}\\ =\frac{1}{4}\mathrm{t}(2{\sin }^2\mathrm{t}-1)+\frac{1}{4}\mathrm{sintcost}+\mathrm{C}\\ =\frac{1}{4}(2{\mathrm{x}}^2-1){\sin }^{-1}\mathrm{x}+\frac{1}{4}\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.8 Integrate the functions
x tan^-1x

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{xtan}}^{-1}\mathrm{x}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}{\tan }^{-1}\mathrm{x}\text{as a first function and x as second function and}\\ \text{integrating by parts, we get}\\ ={\tan }^{-1}\mathrm{x}\int \mathrm{x}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)\int \mathrm{x}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ ={\tan }^{-1}\mathrm{x}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)-\int \frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\int \frac{{\mathrm{x}}^2}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\int \frac{1+{\mathrm{x}}^2-1}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\int \frac{1+{\mathrm{x}}^2}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\int 1.\mathrm{dx}+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\mathrm{x}\mathrm{dx}+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.9 Integrate the functions
x cos^-1x

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{xcos}}^{-1}\mathrm{x}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Let}\text{t}={\cos }^{-\text{1}}\text{x}\Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{cost}\\ \mathrm{sint}=\sqrt{1-{\cos }^2\mathrm{t}}=\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}\\ \mathrm{Then},\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\cos }^{-\text{1}}\text{x}\\ =\frac{-1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\\ =\frac{-1}{\mathrm{sint}}\\ \Rightarrow \mathrm{dx}=-\mathrm{sint}\mathrm{dt}\\ \mathrm{So},\mathrm{I}=\int \mathrm{tcost}(-\mathrm{sint})\mathrm{dt}\\ =-\frac{1}{2}\int \mathrm{tsin}2\mathrm{t}\mathrm{dt}\\ \mathrm{Taking}\text{algebraic function i.e. t as a first function and sin2t as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ =-\frac{1}{2}[\mathrm{t}\int \sin 2\mathrm{t}\mathrm{dt}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\mathrm{t}\right)\int \sin 2\mathrm{t}\mathrm{dt}\}\mathrm{dt}]\\ =-\frac{1}{2}[\mathrm{t}(-\frac{1}{2}\cos 2\mathrm{t})-\int 1.(-\frac{1}{2}\mathrm{co}2\mathrm{t})\mathrm{dx}]\\ =-\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}\mathrm{tcos}2\mathrm{t}+\frac{1}{4}\sin 2\mathrm{t}+\mathrm{C}]\\ =\frac{1}{4}\mathrm{t}(1-2{\sin }^2\mathrm{t})-\frac{1}{8}\times 2\mathrm{sintcost}+\mathrm{C}\\ =\frac{1}{4}\mathrm{t}(1-2{\sin }^2\mathrm{t})-\frac{1}{4}\mathrm{sintcost}+\mathrm{C}\\ =\frac{1}{4}(1-2{\mathrm{x}}^2){\sin }^{-1}\mathrm{x}-\frac{1}{4}\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.10 Integrate the functions
(sin^–1x)²

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{dx}\\ =\int {\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2.1\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}{\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\text{as first function and 1 as second function and}\\ \text{integrating by parts, we get}\\ \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}I}={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\int 1\mathrm{dx}-\int \{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\int 1\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ ={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{x}-\int \{2{\sin }^{-1}\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right).\mathrm{x}\}\mathrm{dx}\\ ={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{x}-\int \frac{2{\mathrm{xsin}}^{-1}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}\\ ={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{x}+\int {\sin }^{-1}\mathrm{x}\frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}\\ ={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{x}+{\sin }^{-1}\mathrm{x}\int \frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}-(\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\sin }^{-1}\mathrm{x}\int \frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx})\mathrm{dx}\\ ={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{x}+{\sin }^{-1}\mathrm{x}\int \frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{t}}}\frac{\mathrm{dt}}{-2\mathrm{x}}-\{\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\sin }^{-1}\mathrm{x}\int \frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{t}}}\frac{\mathrm{dt}}{-2\mathrm{x}}\}\mathrm{dx}\\ \left[\mathrm{Let}\text{t}=1-{\mathrm{x}}^2\Rightarrow \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=-2\mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{dt}}{-2\mathrm{x}}\right]\\ ={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{x}+{\sin }^{-1}\mathrm{x}.2\sqrt{\mathrm{t}}-\{\int \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}2\sqrt{\mathrm{t}}\}\mathrm{dx}\\ ={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{x}+2{\sin }^{-1}\mathrm{x}.\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}-\int \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}2\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}\\ ={\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{x}+2{\sin }^{-1}\mathrm{x}.\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}-2\int 1\mathrm{dx}\\ =\mathrm{x}{\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2+2\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}{\sin }^{-1}\mathrm{x}-2\mathrm{x}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.11

$\begin{array}{l}\text{Integrate the functions}\\ \frac{{\mathrm{xcos}}^{–1}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\end{array}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{xcos}}^{–1}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}\\ =\frac{-1}{2}\int {\cos }^{-1}\mathrm{x}\frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}{\cos }^{-1}\mathrm{x}\text{as first function and}\frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\text{as second function and}\\ \text{integrating by parts, we get}\\ \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}I}=\frac{-1}{2}\{{\cos }^{-1}\mathrm{x}\int \frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}-(\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\cos }^{-1}\mathrm{x}\int \frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx})\mathrm{dx}\}\\ =\frac{-1}{2}\{{\cos }^{-1}\mathrm{x}\int \frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{t}}}\frac{\mathrm{dt}}{-2\mathrm{x}}-(\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\cos }^{-1}\mathrm{x}\int \frac{-2\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{t}}}\frac{\mathrm{dt}}{-2\mathrm{x}})\mathrm{dx}\}\\ \left[\mathrm{Let}\text{t}=1-{\mathrm{x}}^2\Rightarrow \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=-2\mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{dt}}{-2\mathrm{x}}\right]\\ =\frac{-1}{2}[{\cos }^{-1}\mathrm{x}.2\sqrt{\mathrm{t}}-(\int \frac{-1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}2\sqrt{\mathrm{t}})\mathrm{dx}]\\ =\frac{-1}{2}[{\cos }^{-1}\mathrm{x}.2\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}-(\int \frac{-1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}2\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2})\mathrm{dx}]\\ =\frac{-1}{2}(2{\cos }^{-1}\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}+2\int 1\mathrm{dx})\\ =\frac{-1}{2}(2{\cos }^{-1}\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}+2\mathrm{x})+\mathrm{C}\\ =-(\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}{\cos }^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{x})+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.12

Integrate the functions x sec²x

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{xsec}}^2\mathrm{x}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}\text{algebraic function i.e. x as a first function and}{\sec }^2\mathrm{x}\text{as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ =\mathrm{x}\int {\sec }^2\mathrm{x}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)\int {\sec }^2\mathrm{x}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{x}\left(\mathrm{tanx}\right)-\int 1.\mathrm{tanx}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{xtanx}-\int \mathrm{tanx}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\mathrm{xtanx}+\log \left|\mathrm{cosx}\right|+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.13

Integrate the functions tan^-1x

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\tan }^{-1}\mathrm{x}\mathrm{dx}=\int {\tan }^{-1}\mathrm{x}.1\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}{\tan }^{-1}\mathrm{x}\text{as a first function and 1 as second function and}\\ \text{integrating by parts, we get}\\ ={\tan }^{-1}\mathrm{x}\int 1\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)\int 1\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ ={\tan }^{-1}\mathrm{x}\left(\mathrm{x}\right)-\int \frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}.\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\\ =\mathrm{x}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\int \frac{\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\mathrm{x}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\log |1+{\mathrm{x}}^2|+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.14

Integrate the functions x (logx)²

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \mathrm{x}{\left(\mathrm{logx}\right)}^2\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}{\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}\text{as a first function and}\mathrm{x}\text{as}\\ \text{second function and integrating by parts, we get}\\ ={\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}\int \mathrm{x}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}\right)\int \mathrm{x}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ ={\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)-\int \frac{2\mathrm{logx}}{\mathrm{x}}.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}-\int \mathrm{xlogx}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}-[\mathrm{logx}\int \mathrm{x}\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}\right)\int \mathrm{x}\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}]\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}-\{\mathrm{logx}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)-\int \frac{1}{\mathrm{x}}.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\right)\mathrm{dx}\}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}-\{\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\mathrm{logx}-\int \frac{\mathrm{x}}{2}\mathrm{dx}\}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\left(\text{logx}\right)}^{\text{2}}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\mathrm{logx}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.15

Integrate the functions (x²+1) logx

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int ({\mathrm{x}}^2+1)\mathrm{logx}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}\text{logx as a first function and}\left({\mathrm{x}}^2\text{+1}\right)\text{as second function}\\ \text{and integrating by parts, we get}\\ =\mathrm{logx}\int ({\mathrm{x}}^2+1)\mathrm{dx}-\int \{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}\right)\int ({\mathrm{x}}^2+1)\mathrm{dx}\}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{logx}(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\mathrm{x})-\int \frac{1}{\mathrm{x}}.(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\mathrm{x})\mathrm{dx}\\ =(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\mathrm{x})\mathrm{logx}-\int (\frac{{\mathrm{x}}^2}{3}+1)\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\mathrm{x})\mathrm{logx}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{9}-\mathrm{x}+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.16

Integrate the functions e^x (sinx + cosx)

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx})\mathrm{dx}\\ \mathrm{Here},\text{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sinx}\text{and f’}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cosx}\\ \mathrm{Thus},{\text{the given integrand is of the form e}}^{\text{x}}[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)].\\ \mathrm{Therefore},\\ \mathrm{I}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx})\mathrm{dx}\\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{sinx}+\mathrm{C}[âˆ\mu \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\}\mathrm{dx}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{C}]\end{array}$

 Q.17

$\mathrm{Integrate}\mathrm{the}\mathrm{functions}\frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}}{{(1+\mathrm{x})}^2}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}}{{(1+\mathrm{x})}^2}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{\mathrm{x}}{{(1+\mathrm{x})}^2}\right\}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{1+\mathrm{x}-1}{{(1+\mathrm{x})}^2}\right\}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\{\frac{1+\mathrm{x}}{{(1+\mathrm{x})}^2}-\frac{1}{{(1+\mathrm{x})}^2}\}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\{\frac{1}{(1+\mathrm{x})}-\frac{1}{{(1+\mathrm{x})}^2}\}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Let}\text{​ f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{(1+\mathrm{x})}\mathrm{and}\text{f’}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{{(1+\mathrm{x})}^2}\\ \mathrm{Thus},{\text{the given integrand is of the form e}}^{\text{x}}[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)].\\ \mathrm{Therefore},\\ \mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}}{{(1+\mathrm{x})}^2}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\{\frac{1}{(1+\mathrm{x})}-\frac{1}{{(1+\mathrm{x})}^2}\}\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{1+\mathrm{x}}+\mathrm{C}[âˆ\mu {\text{e}}^{\text{x}}\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)]\end{array}$

 Q.18

$\mathrm{Integrate}\mathrm{the}\mathrm{functions}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{1+\mathrm{sinx}}{1+\mathrm{cosx}}\right)$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{We}\text{have,}\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{1+\mathrm{sinx}}{1+\mathrm{cosx}}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+{\cos }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+2\sin \frac{\mathrm{x}}{2}\cos \frac{\mathrm{x}}{2}}{2{\cos }^2\frac{\mathrm{x}}{2}}\right)\\ =\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\left(\frac{\sin \frac{\mathrm{x}}{2}+\cos \frac{\mathrm{x}}{2}}{\cos \frac{\mathrm{x}}{2}}\right)}^2\\ =\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{(\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+1)}^2\\ =\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(1+{\tan }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+2\tan \frac{\mathrm{x}}{2})\\ =\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}({\sec }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+2\tan \frac{\mathrm{x}}{2})\\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\frac{1}{2}{\sec }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+\tan \frac{\mathrm{x}}{2})\\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{1}{2}{\sec }^2\frac{\mathrm{x}}{2})\\ \mathrm{Let}\text{f}\left(\mathrm{x}\right)=\tan \frac{\mathrm{x}}{2}\text{\hspace{0.17em} and f’}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}{\sec }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\\ \mathrm{Thus},{\text{the given integrand is of the form e}}^{\text{x}}[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)].\\ \mathrm{Therefore},\\ \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{1+\mathrm{sinx}}{1+\mathrm{cosx}}\right)\mathrm{dx}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{1}{2}{\sec }^2\frac{\mathrm{x}}{2})\mathrm{dx}\\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{C}[âˆ\mu {\text{e}}^{\text{x}}\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)]\end{array}$

 Q.19

$\mathrm{Integrate}\mathrm{the}\mathrm{functionse}{}^{\mathrm{x}}(\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2})$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2})\mathrm{dx}\\ \mathrm{Let}\text{​ f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{and}\text{f’}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\\ \mathrm{Thus},{\text{the given integrand is of the form e}}^{\text{x}}[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)].\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{I}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2})\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}[âˆ\mu {\text{e}}^{\text{x}}\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)]\end{array}$

 Q.20

$\begin{array}{l}\text{Integrate the functions}\\ \frac{(\mathrm{x}-3){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{(\mathrm{x}-1)}^3}\end{array}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \frac{(\mathrm{x}-3){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{(\mathrm{x}-1)}^3}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{\mathrm{x}-1-2}{{(1-\mathrm{x})}^3}\right\}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\{\frac{\mathrm{x}-1}{{(1-\mathrm{x})}^3}-\frac{2}{{(1-\mathrm{x})}^3}\}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\{\frac{1}{{(1-\mathrm{x})}^2}-\frac{2}{{(1-\mathrm{x})}^3}\}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Let}\text{​ f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{(1-\mathrm{x})}^2}\mathrm{and}\text{f’}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{2}{{(1-\mathrm{x})}^3}\\ \mathrm{Thus},{\text{the given integrand is of the form e}}^{\text{x}}[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)].\\ \mathrm{Therefore},\\ \mathrm{I}=\int \frac{(\mathrm{x}-3){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{(\mathrm{x}-1)}^3}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\{\frac{1}{{(1-\mathrm{x})}^2}-\frac{2}{{(1-\mathrm{x})}^3}\}\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{(1-\mathrm{x})}^2}+\mathrm{C}[âˆ\mu {\text{e}}^{\text{x}}\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)]\end{array}$

 Q.21

Integrate the functions e^2x sinx

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{We}\text{have,}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{sinx}\\ \mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{sinx}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Taking}{\text{sinx as first function and e}}^{\text{2x}}\text{as second function, then}\\ \mathrm{Integrating}\text{by parts, we get}\\ \mathrm{I}=\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{sinx}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{sinx}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx})\mathrm{dx}\\ =\mathrm{sinx}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\right)-\int \left\{\mathrm{cosx}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\right)\right\}\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\mathrm{sinx}-\frac{1}{2}\int \mathrm{cosx}.{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\mathrm{sinx}-\frac{1}{2}\{\mathrm{cosx}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx})\mathrm{dx}\}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\mathrm{sinx}-\frac{1}{2}\{\mathrm{cosx}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\right)-\int \{-\mathrm{sinx}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\right)\}\mathrm{dx}\}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\mathrm{sinx}-\frac{1}{2}\mathrm{cosx}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}\right)-\frac{1}{4}\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{sinx}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \mathrm{I}=\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{sinx}}{2}-\frac{1}{4}\mathrm{cosx}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-\frac{1}{4}\mathrm{I}+\mathrm{C}\\ \mathrm{I}+\frac{1}{4}\mathrm{I}=\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{sinx}}{2}-\frac{1}{4}\mathrm{cosx}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+\mathrm{C}\\ \frac{5}{4}\mathrm{I}=\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{sinx}}{2}-\frac{1}{4}\mathrm{cosx}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+\mathrm{C}\\ \mathrm{I}=\frac{4}{5}\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{4}(2\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx})+\mathrm{C}\end{array}$

 Q.22

$\begin{array}{l}\text{Integrate the functions}\\ {\sin }^{–1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}\right)\end{array}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{We}\text{have,}{\sin }^{–1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}\right)\\ \mathrm{Let}\mathrm{I}=\int {\sin }^{–1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}\right)\mathrm{dx}\\ \mathrm{Let}\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }\Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d\theta }}={\sec }^2\mathrm{\theta }\\ \therefore \mathrm{I}=\int {\sin }^{–1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}\right)\mathrm{dx}\\ =\int {\sin }^{–1}\left(\frac{2\mathrm{tan\theta }}{1+{\tan }^2\mathrm{\theta }}\right){\sec }^2\mathrm{\theta }\mathrm{d\theta }\\ =\int {\sin }^{–1}\left(\sin 2\mathrm{\theta }\right){\sec }^2\mathrm{\theta }\mathrm{d\theta }\\ =\int 2\mathrm{\theta }{\sec }^2\mathrm{\theta }\mathrm{d\theta }\\ =2[\mathrm{\theta }\int {\sec }^2\mathrm{\theta }\mathrm{d\theta }-(\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d\theta }}\mathrm{\theta }\int {\sec }^2\mathrm{\theta }\mathrm{d\theta })\mathrm{d\theta }]\\ =2[\mathrm{\theta tan\theta }-\int 1\mathrm{tan\theta }\mathrm{d\theta }]\\ =2\mathrm{\theta tan\theta }-2\log \left|\mathrm{sec\theta }\right|+\mathrm{C}\\ =2\mathrm{\theta tan\theta }-2\log \left|\sqrt{1+{\tan }^2\mathrm{\theta }}\right|+\mathrm{C}\\ \mathrm{I}=2{\mathrm{xtan}}^{-1}\mathrm{x}-2\log \left|\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}\right|+\mathrm{C}.\end{array}$

 Q.23

$\begin{array}{l}\mathrm{Choose}\mathrm{the}\mathrm{correct}\mathrm{answer}\\ \int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^3}\mathrm{dx}\mathrm{equals}\\ \left(\mathrm{A}\right)\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^3}+\mathrm{C}\\ \left(\mathrm{B}\right)\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}\\ \left(\mathrm{C}\right)\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^3}+\mathrm{C}\\ \left(\mathrm{D}\right)\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}\end{array}$

Ans

$\begin{array}{l}\mathrm{We}\mathrm{have}\int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^3}\mathrm{dx}\\ \mathrm{Let}\text{t}={\text{x}}^{\text{3}}\Rightarrow \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=3{\mathrm{x}}^2\\ \therefore \int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^3}\mathrm{dx}=\int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\frac{\mathrm{dt}}{3{\mathrm{x}}^2}\\ =\frac{1}{3}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^3}+\mathrm{C}\\ \mathrm{Hence},\text{the correct option is A.}\end{array}$

 Q.24

$\begin{array}{l}\mathrm{Choose}\mathrm{the}\mathrm{correct}\mathrm{answer}\\ \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{secx}\left(1+\mathrm{tanx}\right)\mathrm{dx}\mathrm{equals}\\ \left(\mathrm{A}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}+\mathrm{C}\\ \left(\mathrm{B}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{secx}+\mathrm{C}\\ \left(\mathrm{C}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{sinx}+\mathrm{C}\\ \left(\mathrm{D}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{tanx}+\mathrm{C}\end{array}$