Important Questions Class 12 Maths Chapter 4

Q.1-

$\text{If value of determinant }\left|\begin{array}{cc}\sin 80°& \cos 80°\\ \sin 10°& \cos 10°\end{array}\right|\text{ is}$

Opt-

1. 0.
2. $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{2}$}\right.$
3. 1/2.
4. 1.

Ans –

$\begin{array}{l}\mathrm{We} \mathrm{have},\\ \mathrm{}=\left|\begin{array}{cc}\sin 80°& \cos 80°\\ \sin 10°& \cos 10°\end{array}\right|\\ \mathrm{}=\sin 80°\cos 10°+\cos 80°\sin 10°\\ \mathrm{}=\sin (80°+10°)=\sin 90°=1.\end{array}$

Q.2-

$\begin{array}{l}\mathrm{Using} \mathrm{properties} \mathrm{of} \mathrm{determinants}, \mathrm{show} \mathrm{that}\\ \mathrm{}\left|\begin{array}{l}1+\mathrm{a}11\\ 11+\mathrm{b}1\\ 111+\mathrm{c}\end{array}\right|\mathrm{}=\mathrm{}\mathrm{abc}\mathrm{}\left(1+\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right)\mathrm{}=\mathrm{}\mathrm{abc} +\mathrm{bc} + \mathrm{ca} + \mathrm{ab}.\end{array}$

Opt-

$\begin{array}{l}\mathrm{Let} \mathrm{}= \left|\begin{array}{l}1+\mathrm{a}11\\ 11+\mathrm{b}1\\ 111+\mathrm{c}\end{array}\right|\\ \mathrm{By} \mathrm{applying} {\mathrm{c}}_1{\mathrm{c}}_2\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}{\mathrm{c}}_{}\end{array}$

Ans-

$\begin{array}{l}\mathrm{Let} \mathrm{}= \left|\begin{array}{l}1+\mathrm{a}11\\ 11+\mathrm{b}1\\ 111+\mathrm{c}\end{array}\right|\\ \mathrm{By} \mathrm{applying} {\mathrm{c}}_1{\mathrm{c}}_2\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}{\mathrm{c}}_3{\mathrm{c}}_3{\mathrm{c}}_2,\mathrm{}\mathrm{we} \mathrm{get}\\ \left|\begin{array}{l}\mathrm{a} 10\\ \mathrm{b}1+\mathrm{b}\mathrm{b}\\ 01\mathrm{c}\end{array}\right|\\ \mathrm{Expanding} \mathrm{along} {\mathrm{R}}_1,\mathrm{we} \mathrm{obtain}\\ \mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}=\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{}\left|\begin{array}{l}1+\mathrm{b}\mathrm{b}\\ 1\mathrm{c}\end{array}\right|1\mathrm{}\left|\begin{array}{l}\mathrm{b}\mathrm{b}\\ 0\mathrm{c}\end{array}\right|+\mathrm{}0\\ =\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{}\left(\mathrm{c}+\mathrm{bc}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{bc}\right)\\ =\mathrm{}\mathrm{ac}+\mathrm{abc}+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}\mathrm{}\\ =\mathrm{}\mathrm{abc}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}+\mathrm{ab}\mathrm{}\\ =\mathrm{}\mathrm{abc}\mathrm{}\left[\mathrm{a}+\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right]\end{array}$

Q.3

$\begin{array}{l}\mathrm{If} \mathrm{A} = \left|\begin{array}{l}1 -1 2\\ 0 2 -3\\ 3 -2 4\end{array}\right|\mathrm{and} \mathrm{B} \left|\begin{array}{l}–2 0 1\\ 9 2 -3\\ 6 1 -2\end{array}\right|\mathrm{then} \mathrm{find} \mathrm{AB}.\\ \mathrm{Using} \mathrm{AB}, \mathrm{solve} \mathrm{the} \mathrm{folowing} \mathrm{system} \mathrm{of} \mathrm{equations}:\\ \mathrm{x}\mathrm{y}+2\mathrm{z} =1\\ 2\mathrm{y}3\mathrm{z} =1\\ 3\mathrm{x}2\mathrm{y}+4\mathrm{z} = 2\end{array}$

Ans-

$\begin{array}{l}\mathrm{Here}, \mathrm{AB} = \left|\begin{array}{l}1 -1 2\\ 0 2 -3\\ 3 -2 4\end{array}\right| \left|\begin{array}{l}–2 0 1\\ 9 2 -3\\ 6 1 -2\end{array}\right|\\ =\mathrm{}\left|\begin{array}{l}\mathrm{2}9 +1 202+2 1+3\mathrm{4}\\ 0 +1818 0+43 06+6\\ 618+24 04+43 +68\end{array}\right|\\ = \left|\begin{array}{l}1 0 0\\ 0 1 0\\ 0 0 1\end{array}\right|\\ \mathrm{Then} \mathrm{AB} = \mathrm{I}\\ \mathrm{Thus} {\mathrm{A}}^1\mathrm{}=\mathrm{}\mathrm{B}\\ {\left|\begin{array}{l}1 -1 2\\ 0 2 -3\\ 3 -2 4\end{array}\right|}^1= \left|\begin{array}{l}–2 0 1\\ 9 2 -3\\ 6 1 -2\end{array}\right|\\ \mathrm{Now} \mathrm{given} \mathrm{equations} \mathrm{can} \mathrm{be} \mathrm{written} \mathrm{as} {\mathrm{A}}_1\mathrm{X}\mathrm{}=\mathrm{}{\mathrm{B}}_1\\ \mathrm{where}, {\mathrm{A}}_1\mathrm{}=\mathrm{}\left|\begin{array}{l}1 -1 2\\ 0 2 -3\\ 3 -2 4\end{array}\right|\mathrm{}\mathrm{X}\mathrm{}=\mathrm{}\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]\mathrm{and} {\mathrm{B}}_1\mathrm{€‹}=\mathrm{}\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]\\ \mathrm{Now}{\mathrm{A}}_{1\mathrm{}}=\mathrm{}\mathrm{A}\\ ˆ´\mathrm{}{{\mathrm{A}}_1}^1\mathrm{}=\mathrm{}{\mathrm{A}}^1\\ \mathrm{}‡’\mathrm{}{{\mathrm{A}}_1}^1\mathrm{}=\mathrm{}\left|\begin{array}{l}–2 0 1\\ 9 2 -3\\ 6 1 -2\end{array}\right|\\ \mathrm{as} \mathrm{X} ={{\mathrm{A}}_1}^1\mathrm{}{\mathrm{B}}_1\\ \mathrm{}ˆ´\mathrm{}\mathrm{X}\mathrm{}=\mathrm{}\left|\begin{array}{l}–2 0 1\\ 9 2 -3\\ 6 1 -2\end{array}\right|\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]\\ \mathrm{X}\mathrm{}=\mathrm{}\left|\begin{array}{l}–2 + 0 + 1\\ 9 +2 -6\\ 6 +1 -4\end{array}\right|\left[\begin{array}{l}0\\ 5\\ 3\end{array}\right]\\ \mathrm{Hence}, \mathrm{x} = 0, \mathrm{y} = 5 \mathrm{and} \mathrm{z} = 3\end{array}$

Q.4-

$\begin{array}{l}\mathrm{Show} \mathrm{that} \left|\begin{array}{l}\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}\\ \mathrm{a}+2\mathrm{x} \mathrm{b}+2\mathrm{y}\mathrm{c}+2\mathrm{z}\\ \mathrm{x} \mathrm{y}\mathrm{z}\end{array}\right|\mathrm{}=\mathrm{}0 \mathrm{by} \\ \mathrm{using} \mathrm{properties} \mathrm{of} \mathrm{determinants}.\end{array}$

Ans-

$\begin{array}{l}\left|\begin{array}{l}\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}\\ \mathrm{a}+2\mathrm{x} \mathrm{b}+2\mathrm{y}\mathrm{c}+2\mathrm{z}\\ \mathrm{x} \mathrm{y}\mathrm{z}\end{array}\right|\mathrm{}=\mathrm{}\left|\begin{array}{l}\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}\\ \mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}\\ \mathrm{x} \mathrm{y}\mathrm{z}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{l}\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}\\ 2\mathrm{x} 2\mathrm{y}2\mathrm{z}\\ \mathrm{x} \mathrm{y}\mathrm{z}\end{array}\right|\\ \left(\begin{array}{l}\mathrm{All} \mathrm{elements} \mathrm{of} {\mathrm{R}}_2\mathrm{are} \mathrm{expressed} \mathrm{as} \mathrm{sum} \mathrm{of} \\ \mathrm{two} \mathrm{terms}. \mathrm{Therefore}, \mathrm{the} \mathrm{determinant} \mathrm{can}\\ \mathrm{be} \mathrm{expressed} \mathrm{as} \mathrm{sum} \mathrm{of} \mathrm{two} \mathrm{determinant}.\end{array}\right)\\ =\mathrm{}0\mathrm{}+2\mathrm{}\left|\begin{array}{l}\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}\\ \mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}\\ \mathrm{x} \mathrm{y}\mathrm{z}\end{array}\right|\mathrm{}\left(2 \mathrm{is} \mathrm{taken} \mathrm{out} \mathrm{common} \mathrm{from} {\mathrm{R}}_2.\right)\\ \left(\begin{array}{l}\mathrm{If} \mathrm{any} \mathrm{two} \mathrm{rows} \mathrm{or} \mathrm{columns} \mathrm{of} \mathrm{a} \mathrm{determinant} \mathrm{are} \\ \mathrm{identical} \mathrm{then} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{determinant} \mathrm{is} \mathrm{zero}.\end{array}\right)\\ =0\mathrm{}+\mathrm{}0\mathrm{}=\mathrm{}0\end{array}$